Introduction :

Une définition de Wikipédia pour le plan d’expérience est « la suite ordonnée d'essais d'une expérimentation, chacune permettant d'acquérir de nouvelles connaissances en contrôlant un ou plusieurs paramètres d'entrée pour obtenir des résultats validant un modèle avec une bonne économie (nombre d'essais le plus faible possible, par exemple) ».

 

Le diagramme ci-dessous résume de manière plus simple cette définition :

 

L’Output (aussi appelée Réponse, ou y) d’un processus est dépendant d’un ou plusieurs facteurs (les variables x), d’où la relation y = f(x).

 

Afin de maximiser y, nous devons déterminer la meilleure combinaison de x (quelles seront les valeurs de chaque x qui optimiseront au mieux y ?).

C’est là le but du plan d’expérience qui reste pour beaucoup de qualiticien l’outil le plus important (mais aussi celui qui fait le plus peur du fait des nombreux calculs à effectuer).

 

Normalement, des logiciels spécialisés sont utilisés afin d’établir un plan d’expérience (appelé Design Of Experiment en Anglais, ou DOE).

 

Nous allons voir ci-dessous comment établir un plan d’expérience complet avec trois facteurs et deux niveaux par facteur de manière simple, sans utilisation de logiciel spécifique.

 

Nous venons de voir ce que sont les facteurs.

Les niveaux (en Anglais, levels) sont les valeurs attribuées à chaque facteur.

Ainsi, si nous prenons deux niveaux par facteur nous déterminerons deux valeurs pour chaque facteur et nous expérimenterons les effets sur la réponse y.

 

La première question qui vient à l’esprit est « pourquoi choisir seulement deux niveaux par facteurs » ?

La réponse est principalement financière.

Pour trois facteurs avec deux niveaux chacun nous auront 2³ possibilités (soit 8 possibilités).

Imaginons que nous choisissions 4 niveaux par facteurs. La somme des possibilités serait alors de 3³, soit  27 possibilités, et ainsi de suite.

 

Le nombre de possibilités augmente donc très vite et il faut savoir que lorsque l’on procède à ce genre d’expérimentation le coût des tests peut être prohibitif (imaginez que vous faites stopper une chaîne de montage pour réaliser vos tests…).

Le modèle 2^k (k facteurs avec 2 niveaux chacun) est le plus répandu car étant le moins prohibitif au niveau financier tout en restant performant.

 

Exemple : amélioration d’une peinture

Vous travaillez comme responsable qualité au sein d’une usine qui fabrique des pièces destinées à l’industrie pétrolière off-shore.

L’un des processus est de peindre ces pièces avec une peinture contenant un certain pourcentage de zinc, ceci afin d’améliorer la résistance de la peinture aux impacts marins.

Vous devez déterminer les facteurs influençant la qualité de la peinture et déterminer le niveau optimal de chaque facteur afin d’obtenir une peinture de meilleure qualité.

 

Etape 1 – Etablir l’objectif de l’expérience

Votre objectif est de maximiser la qualité de la peinture.

Cette qualité est déterminée par le % de zinc contenu dans la peinture.

 

Etape 2 – Identifier les facteurs

Vous réunissez du personnel de différents départements travaillant sur le processus « peinture ». Après un brainstorming vous déterminez que les trois facteurs principaux pouvant influencer la qualité de la peinture sont :

• La température ambiante
• Le temps d’application de la peinture
• Le volume de catalyse

 

Ayant décidé d’utiliser deux niveaux par facteur, le brainstorming indique les valeurs ci-dessous :

Facteur	Niveau Bas	Niveau Haut
Température	18 degrés	24 degrés
Temps	50 minutes	70 minutes
Catalyse	94 litres	102 litres

 

Etape 3 – Déterminer le design du plan d’expérience

Nous avons donc trois facteurs avec deux niveaux chacun.

Les combinaisons possibles sont reprises dans le tableau ci-dessous :

 

Combinaison	Température	Temps	Catalyse
1	-	-	-
2	+	-	-
3	-	+	-
4	+	+	-
5	-	-	+
6	+	-	+
7	-	+	+
8	+	+	+

 

Nous avons bien 8 possibilités.

Les « + » indiquent les niveaux hauts (24 degrés par exemple pour la température ou 70 minutes pour le temps).

Les « - » indiquent les niveaux bas (94 litres pour la catalyse).

Etape 4 – Procéder à l’expérience

Maintenant que vous avez dressez votre plan, il ne reste plus qu’à remplacer les « + » et les « - » par les valeurs établies lors de votre brainstorming puis de collecter les réponses de vos expérimentations (collecte des ys).

 

Remplaçons tout d’abord les « + » et les « - » :

 

Combinaison	Température	Temps	Catalyse
1	18 degrés	50 minutes	94 litres
2	24 degrés	50 minutes	94 litres
3	18 degrés	70 minutes	94 litres
4	24 degrés	70 minutes	94 litres
5	18 degrés	50 minutes	102 litres
6	24 degrés	50 minutes	102 litres
7	18 degrés	70 minutes	102 litres
8	24 degrés	70 minutes	102 litres

 

Pour l’expérience 1, nous allons déterminer le niveau de qualité de notre peinture (le % de zinc) avec une température ambiante à 18 degrés, un temps de pose de 50 minutes et un niveau de catalyse de 94 litres.

 

Pour l’expérience 2, nous prendrons une température ambiante à 24 degrés, un temps de pose de 50 minutes et un niveau de catalyse de 94 litres.

 

Et ainsi de suite.

 

Les résultats obtenus sont indiqués dans le tableau ci-dessous :

 

Combinaison	Température	Temps	Catalyse		% Zinc
1	18 degrés	50 minutes	94 litres		72
2	24 degrés	50 minutes	94 litres		90
3	18 degrés	70 minutes	94 litres		79
4	24 degrés	70 minutes	94 litres		89
5	18 degrés	50 minutes	102 litres		78
6	24 degrés	50 minutes	102 litres		88
7	18 degrés	70 minutes	102 litres		81
8	24 degrés	70 minutes	102 litres		85

 

Etape 5 : analyser les résultats

Nous allons procéder à 7 analyses :

• Analyse de l’impact température
• Analyse de l’impact temps
• Analyse de l’impact catalyse
• Analyse de l’impact température et temps
• Analyse de l’impact temps et catalyse
• Analyse de l’impact température et catalyse
• Analyse de l’impact température, temps et catalyse

 

Nous allons, pour effectuer ces analyses, procéder à quelques calculs très simples.

Température : l’effet du facteur température sur notre réponse (le taux de zinc de la peinture) peut être mesuré comme suit :

Somme des ys avec température haute (24 degrés) divisé par 4 (puisque 4 « + » ont été utilisés) moins la somme des ys avec température basse (18 degrés) divisé par 4.

Nous aurons donc :

(90+89+88+85)/4 – (72+79+78+81)/4 = 352/4 – 310/4 = 10,5

 

Nous pouvons conclure, pour le facteur température, que lorsque la température est à sa valeur haute (24 degrés) le taux de zinc dans la peinture augmente de 10,5%.

 

L’analyse du facteur temps nous donne :

(79+89+81+85)/4 – (72+90+78+88)/4 = 1,5

 

L’analyse du facteur catalyse :

(79+88+81+85)/4 – (72+90+79+89)/4 = 0,5

 

Nous voyons que le facteur catalyse a un très faible impact sur le niveau de zinc de la peinture et que le facteur temps à un impact plus important mais toutefois largement moindre que le facteur température.

 

Avant de procéder à l’analyse des combinaisons, nous devons déterminer ces combinaisons.

Ces combinaisons dépendent de notre premier tableau.

Ainsi :

 

Combinaison	Température	Temps	Catalyse
1	-	-	-
2	+	-	-
3	-	+	-
4	+	+	-
5	-	-	+
6	+	-	+
7	-	+	+
8	+	+	+

 

Devient :

 

Combinaison	Température	Temps	Catalyse	AxB	BxC	AxC	AxBxC
1	-	-	-	+	+	+	-
2	+	-	-	-	+	-	+
3	-	+	-	-	-	+	+
4	+	+	-	+	-	-	-
5	-	-	+	+	-	-	+
6	+	-	+	-	-	+	-
7	-	+	+	-	+	-	-
8	+	+	+	+	+	+	+

 

Par soucis de place j’ai appelé le facteur température A, le facteur temps B et le facteur catalyse C.

AxB est donc la combinaison des facteurs température et temps.

Les résultats de chaque combinaison sont tout simplement les résultats mathématiques du mélange des facteurs.

Ainsi, pour AxB, soit la combinaison température et temps, la première combinaison donne « - » pour la température et « - » pour le temps.

Le résultat AxB est « - » x « - » ce qui nous donne un « + ».

 

Le tableau final nous donnera donc :

 

Combi.	A	B	C		AxB	BxC	AxC	AxBxC	% Zinc
1	18 degrés	50 minutes	94 litres		+	+	+	-	72
2	24 degrés	50 minutes	94 litres		-	+	-	+	90
3	18 degrés	70 minutes	94 litres		-	-	+	+	79
4	24 degrés	70 minutes	94 litres		+	-	-	-	89
5	18 degrés	50 minutes	102 litres		+	-	-	+	78
6	24 degrés	50 minutes	102 litres		-	-	+	-	88
7	18 degrés	70 minutes	102 litres		-	+	-	-	81
8	24 degrés	70 minutes	102 litres		+	+	+	+	85

 

Analyse de la combinaison AxB : (72+89+78+85)/4 – (90+79+88+81)/4 = -3,5

Analyse de la combinaison BxC : (72+90+81+85)/4 – (79+89+78+88)/4 = -1,5

Et ainsi de suite.

 

Le tableau général des combinaisons nous donnera :

 

Facteur	Effet
Température – A	+10,5
Temps - B	+1,5
Catalyse – C	+0,5
AxB	-3,5
BxC	-1,5
AxC	-3,5
AxBxC	+0,5

 

Etape 6 – Conclure le plan d’expérience

Il est temps de tirer les conclusions de notre plan d’expérience.

 

D’après le dernier tableau nous voyons que le facteur ayant le plus d’influence est la température. Ce facteur est largement supérieur aux autres.

Ainsi, il sera primordial de contrôler la température ambiante (par exemple en appliquant la peinture dans une pièce close à température contrôlée) afin de maximiser la teneur en zinc de la peinture et donc d’améliorer la qualité du produit final.

 

Les deux graphiques ci-dessous, réalisés avec Minitab, montrent les résultats de notre plan d’expérience :

 

Le facteur A (température est largement significatif d’un point de vue statistique par

rapport aux autres facteurs et combinaisons possibles.

 

Même conclusion avec ce diagramme de Pareto.

 

En traitant le facteur Température vous arriverez donc à optimiser la qualité du produit final de l’ordre de 10,5%. Quel impact aura cette amélioration sur vos clients ? Comment allez- vous marqueter cette amélioration ? Pouvez-vous aller encore plus loin en faisant d’autres plan d’expérience ?Telles seront les questions que vous devrez vous poser un fois ce premier travail effectué.